凸関数の種類について

$\mu$ -強凸関数(Strongly Convex function)

$f(x)$ が $\mu$ -強凸関数であるとは $\forall\theta\in[0,1$ ] $\forall x,y \in dom(f)$

$$\frac{\mu}{2}\theta(1-\theta)\|x-y\|^2+f(\theta x+(1-\theta)x) \leq \theta f(x) + (1-\theta)f(y)$$

で定義される。

$f(x)$ が $\gamma$ -平滑凸関数であるとは $\forall x,y \in dom(f)$

$$\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|\leq \gamma\|x-y\|$$

で定義される。

真閉凸関数 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\cup {\infty}$ が $\mu$ -強凸関数 $\Leftrightarrow$ 共役関数 $f*$ が $\frac{1}{\mu}$ -平滑

この対応により、強凸関数と平滑関数は双対問題を考える上で関わりの深い関数であることが分かる。